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过抛物线y=x2的顶点作互相垂直的两条弦OA、OB,抛物线的顶点O在直线AB上的射影为P,求动点P的轨迹方程.
过抛物线y=x
2
的顶点作互相垂直的两条弦OA、OB,抛物线的顶点O在直线AB上的射影为P,求动点P的轨迹方程.
数学
人气:114 ℃
时间:2019-08-21 15:20:46
优质解答
设P(x,y),A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
l
AB
:y=kx+b,(b≠0)由
y=kx+b
y=
x
2
消去y得:x
2
-kx-b=0,x
1
x
2
=-b.
∵OA⊥OB,∴
OA
•
OB
=0
,∴x
1
x
2
+y
1
y
2
=0,
所以x
1
x
2
+(x
1
x
2
)
2
=-b+(-b)
2
=0,b≠0,∴b=1,∴直线AB过定点M(0,1),
又OP⊥AB,∴点P的轨迹是以OM为直径的圆(不含原点O),
∴点P的轨迹方程为
x
2
+(y−
1
2
)
2
=
1
4
(y>0)
.
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