A为n阶正交阵,且det(A)＝－1,证明r(A＋E)＜n

A是正交矩阵的充分必要条件是 AA'=E.
因为 |A| = -1 .
|A+E| = |A+AA'| = |A(E+A')| = |A||E+A'| = |A||(E+A)'| = -|E+A|.
所以 |A+E| = 0.
所以 r(A+E)