椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率为1/2，点P（x，y）是椭圆上的一个动点，若2x+3y的最大值为10，求椭圆的标准方程．

设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

＝1（a>b>0）
∵离心率e=

c

a

=

1

2

，
∴a=2c，可得b²=a²-c²=3c²，得b=

3

c
点P（x，y）是椭圆上的一个动点，
设x=acosθ=2ccosθ，y=bsinθ=

3

csinθ
∴2x+

3

y=4ccosθ+3csinθ=5csin（θ+φ），其中tanφ=

4

3

∵2x+

3

y的最大值为10，
∴5c=10，可得c=2，所以a=4，b=2

3

因此椭圆的标准方程为：

x2

16

+

y2

12

＝1