如图,O为坐标原点,直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a>0,b≠0),且交抛物线y2=2px(p>0)于M(x1,y1),N(x2,y2)两点. (1)写出直线l的截距式方程; (2)证明:1/y1+1/y2=1/b;
如图,O为坐标原点,直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a>0,b≠0),且交抛物线y
2=2px(p>0)于M(x
1,y
1),N(x
2,y
2)两点.
(1)写出直线l的截距式方程;
(2)证明:
+
=
;
(3)当a=2p时,求∠MON的大小.
数学人气:172 ℃时间:2019-11-25 17:03:13
优质解答
(1)直线l的截距式方程为
+
=1.①
(2)证明:由①及y
2=2px消去x可得by
2+2pay-2pab=0.②
点M、N的纵坐标y
1、y
2为②的两个根,故y
1+y
2=
,y
1y
2=-2pa.
所以
+
=
=
=
.
(3)设直线OM、ON的斜率分别为k
1、k
2,
则k
1=
,k
2=
.
当a=2p时,由(2)知,y
1y
2=-2pa=-4p
2,
由y
12=2px
1,y
22=2px
2,相乘得(y
1y
2)
2=4p
2x
1x
2,
x
1x
2=
=
=4p
2,
因此k
1k
2=
=
=-1.
所以OM⊥ON,即∠MON=90°.
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