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等比数列{an}中,已知对任意自然数n,a1+a2+a3+…+an=2n-1,则a12+a22+a32+…+an2=( ) A.(2n-1)2 B.13(2n−1) C.4n-1 D.13(4n−1)
等比数列{a
n
}中,已知对任意自然数n,a
1
+a
2
+a
3
+…+a
n
=2
n
-1,则a
1
2
+a
2
2
+a
3
2
+…+a
n
2
=( )
A. (2
n
-1)
2
B.
1
3
(
2
n
−1)
C. 4
n
-1
D.
1
3
(
4
n
−1)
其他
人气:111 ℃
时间:2019-08-20 21:40:29
优质解答
设等比数列的公比为q,则由等比数列的性质可知数列{
a
n
2
}是以q
2
为公比的等比数列
S
n
=a
1
+a
2
+…+a
n
=2
n
-1
∵a
1
=S
1
=1,a
n
=S
n
-S
n-1
=2
n
-1-(2
n-1
-1)=2
n-1
适合n=1
∴
a
n
=
2
n−1
,
则由等比数列的性质可知数列{
a
n
2
}是以q
2
=4为公比,以1为首项的等比数列
∴
a
1
2
+
a
2
2
+…+
a
n
2
=
1−
4
n
1−4
=
4
n
−1
3
故选D
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