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已知函数f(x)=a-1/|x|. (1)求证:函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.
已知函数f(x)=a-
1
|x|
.
(1)求证:函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(2)若f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.
数学
人气:215 ℃
时间:2020-03-19 19:00:57
优质解答
证明:(1)当x∈(0,+∞)时,f(x)=a-
1
x
,
设0<x
1
<x
2
,则x
1
x
2
>0,x
2
-x
1
>0.
f(x
1
)-f(x
2
)=(a-
1
x
1
)-(a-
1
x
2
)=
1
x
2
−
1
x
1
=
x
1
−
x
2
x
1
x
2
<0.
∴f(x
1
)<f(x
2
),
即f(x)在(0,+∞)上是增函数
(2)由题意a<
1
x
+2x在(1,+∞)上恒成立,
设h(x)=2x+
1
x
,则a<h(x)在(1,+∞)上恒成立.
可证h(x)在(1,+∞)上单调递增.
故a≤h(1),即a≤3,
∴a的取值范围为(-∞,3].
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