利用函数极限求数列极限（例题）

利用函数极限求数列极限（例题）
设函数f(x)=(tanx/x)^((1/(x^2))于是
x趋于0 lim f(x) =x趋于0 lim(tan/x)^(1/(x^2))
=e^lim x趋于0 ln (tanx/x)/(x^2)=e ^lim x趋于0 ((tan/x)-1)/(x^2)
=e^lim x趋于0 (tanx-x)/(x^3)
=e^1/3 lim x趋于0 ((1/cos2x)-1)/(x^2)（这个1/3是怎么算出来的）
=e^1/3lim x趋于0 (tan2x)/(x^2)
=e^1/3
请详细说一下每一步是怎么算的!