求教：二重积分对称性定理,积分区域关于原点对称时的问题

求教：二重积分对称性定理,积分区域关于原点对称时的问题
二重积分对称性定理：
积分区域D关于原点对称,f(x,y)同时为x,y的奇或偶函数,则
∫∫f(x,y)dxdy（在区域D上积分）=0（当f关于x,y的奇函数,即f(-x,-y)=-f(x,y)时）
或
∫∫f(x,y)dxdy（在区域D上积分）=2∫∫f(x,y)dxdy（在区域D*上积分,其中区域D*是区域D在x>=0(或y>=0)的部分）,（当f关于x,y的偶函数,即f(-x,-y)=f(x,y)时）
例：
计算I=∫∫xydxdy（在区域D上积分）,
其中区域D为双曲线（x^2+y^2）^2=2xy所围成
区域D：（x^2+y^2）^2=2xy关于原点对称,
又f(-x,-y)=(-x)*(-y)=xy=f(x,y)
所以∫∫xydxdy（在区域D上积分）=2∫∫xydxdy（在区域D*上积分）,其中区域D*是区域D的第1象限部分
（定理是蔡子华书上的,例题是陈文灯书上的,陈文灯书上的定理没写后面的条件.定理与例题区域D*矛盾,到底谁的是对的.