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对于定义域为D的函数y=f(x),若同时满足下列条件:①f(x)在D内单调递增或单调递减;②存在区间[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b];那么把y=f(x)(x∈D)叫闭函数.(1)求
对于定义域为D的函数y=f(x),若同时满足下列条件:①f(x)在D内单调递增或单调递减;②存在区间[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b];那么把y=f(x)(x∈D)叫闭函数.
(1)求闭函数y=-x
3
符合条件②的区间[a,b];
(2)判断函数f(x)=
3
4
x
+
1
x
(x>0)是否为闭函数?并说明理由.
数学
人气:572 ℃
时间:2020-04-06 16:19:37
优质解答
(1)由题意,函数y=-x
3
是R上的减函数,若满足x∈[a,b]⊆R,且f(x)的值域为[a,b];则f(a)=-a
3
,f(b)=-b
3
;
∴
b=
-a
3
a=
-b
3
,且b>a;解得
a=-1
b=1
,
所以,所求的区间为[-1,1].
(2)∵当x>0时,f(x)=
3
4
x+
1
x
≥2
3
4
x•
1
x
=
3
,当且仅当
3
4
x=
1
x
,即x=
2
3
时“=”成立,
∴f(x)不是(0,+∞)上的增函数或减函数;
所以,函数f(x)不是(0,+∞)上的闭函数.
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函数f(x)对任意的a,b属于R都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时f(x)>1.
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