已知函数f(x)的定义域为[0,1]且同时满足:①对任意x∈[0,1]总有f(x)≥2;②f(1)=3;③若x1≥0,x2≥0且x1+x2≤1,则有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-2. (I)求f(0)的值; (II)求f(x)的
已知函数f(x)的定义域为[0,1]且同时满足:①对任意x∈[0,1]总有f(x)≥2;②f(1)=3;③若x
1≥0,x
2≥0且x
1+x
2≤1,则有f(x
1+x
2)=f(x
1)+f(x
2)-2.
(I)求f(0)的值;
(II)求f(x)的最大值;
(III)设数列{a
n}的前n项和为S
n,且
Sn=−(an−3)(n∈N*),求f(a
1)+f(a
2)+…+f(a
n).
数学人气:710 ℃时间:2020-03-20 16:48:06
优质解答
(Ⅰ)令x
1=x
2=0,
由③知f(0)=2f(0)-2⇒f(0)=2;
(Ⅱ)任取x
1x
2∈[0,1],且x
1<x
2,
则0<x
2-x
1≤1,∴f(x
2-x
1)≥2
∴f(x
2)-f(x
1)=f[(x
2-x
1)+x
1]-f(x
1)
=f(x
2-x
1)+f(x
1)-2-f(x
1)=f(x
2-x
1)-2≥0
∴f(x
2)≥f(x
1),则f(x)≤f(1)=3.
∴f(x)的最大值为3;
(Ⅲ)由
Sn=−(an−3)知,
当
n=1时,a1=1;当n≥2时,an=−an+an−1∴
an=an−1(n≥2),又a1=1,∴an=∴
f(an)=f()=f(++)=f()+f()−2=
3f()−4=3f(an+1)−4∴
f(an+1)=f(an)+∴
f(an+1)−2=(f(an)−2)又f(a
1)-2=1∴
f(an)−2=()n−1,∴f(an)=()n−1+2∴
f(a1)+f(a2)++f(an)=2n+−.
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