已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2. (1)求q关于p的关系式; (2)求证:抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点; (3)设抛物线y=x2+px+q的顶点为M,且与x轴相交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,求
已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2.
(1)求q关于p的关系式;
(2)求证:抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点;
(3)设抛物线y=x2+px+q的顶点为M,且与x轴相交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,求使△AMB面积最小时的抛物线的解析式.
数学人气:570 ℃时间:2019-10-17 07:40:24
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(1)把x=2代入得2
2+2p+q+1=0,即q=-(2p+5);
(2)证明:∵一元二次方程x
2+px+q=0的判别式△=p
2-4q>0,
由(1)得△=p
2+4(2p+5)=p
2+8p+20=(p+4)
2+4>0,(3分)
∴一元二次方程x
2+px+q=0有两个不相等的实根.(4分)
∴抛物线y=x
2+px+q与x轴有两个交点;(5分)
(3)抛物线顶点的坐标为
M(−,),(6分)
∵x
1,x
2是方程x
2+px+q=0的两个根,
∴
,
∴
|AB|=|x1−x2|==.(7分)
∴
S△AMB=|AB|•||=(p2−4q),(8分)
要使S
△AMB最小,只须使p
2-4q最小.
由(2)得△=p
2-4q=(p+4)
2+4,
所以当p=-4时,有最小值4,此时S
△AMB=1,q=3.(9分)
故抛物线的解析式为y=x
2-4x+3.(10分)
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