证明三角形ABC是等边三角形的充要条件是：ab+bc+ca=a^2+b^2+c^2,这里a,b,c是三角形ABC三条边.

如果三角形是等边三角形,则有a=b=c成立,显然结论ab+bc+ca=a^2+b^2+c^2成立
反之,如果有ab+bc+ca=a^2+b^2+c^2,则两边同乘以2得
2*ab+2*bc+2*ca=2*a^2+2*b^2+2*c^2,整理得
（a-b）^2+（b-c）^2+（c-a）^2=0
故有a=b=c成立,即三角形是等边三角形