16的自然数中任取两个不同的数,恰好这两个数之积能被这两个数的和整除,有多少种不同的取法?

从代数入手吧!
①
设这两个数为a、b,同时不妨设a＜b
由已知：a+b能整除ab,则不妨设ab=m(a+b)此时需要有m为整数.
②
不妨设a、b的最大公因数为（a,b）,最小公倍数为[a,b].且设a、b除以最大公因数之后为a1和b1,容易知道,a1与b1互质,且a1＜b1.
③
下面引证以下a1+b1、a1和b1这三个数两两互质.
反证：假若a1+b1与a1不互质,那么假设它们都是p的倍数,那么a1+b1-a1=b1也应是p的倍数,这与a1和b1互质矛盾.
④
ab=m（a+b）
则（a,b）×a1×（a,b）×b1=m[（a,b）×a1+（a,b）×b1]
两边除以（a,b）,于是
a1×b1×（a,b）=m（a1+b1）
【【注意到a1+b1、a1和b1这三个数两两互质,那么必须有a1+b1整除（a,b）!】】
⑤下面构造所有符合条件的数组：
（1）a1=1,b1=2,此时有（a,b）=3,6,9,……此时有若干组情况：{a,b}={3,6}、{6,12}（后面的2×9超出16,舍去）
（2）a1=1,b1=3,此时有（a,b）=4,8,……此时有{a,b}={4,12}（后面的3×8超出16,舍去）
（3）a1=1,b1=4,此时有（a,b）=5,10,……此时没有符合条件的{a,b}=（第一组的4×5超出16,舍去）
（4）容易看出,a1=1,b1≥4的情况不成立,因为：b1×（b1+1）＞16
（5）a1=2,b1=3,此时有（a,b）=5,10,……此时有{a,b}={10,15}（后面的2×10超出16,舍去）
（6）容易看出,a1=2,b1≥4的情况不成立,因为：b1×（b1+2）＞16
（7）容易看出,a1≥3则b1＞3,此类的情况不成立,因为：b1×（b1+3）＞16
综上,只有四组
{3,6}、{6,12}、{4,12}、{10,15}
累死我了…………………………………………………………………………