don't speak to me like that

speak是及物动词,可以说speak something to somebody.
我想你是及物动词和不及物动词的概念没有搞清楚.
判断及物还是不及物,要看这个动词后面能不能跟着他所支配的名词,如果能,就是及物,如果不能,就是不及物.
比如说look这个词,要是说看书要用look at a book,他不能直接跟后面的book这个名词,所以它是不及物动词.又比如说write这个词,我们说write a letter to somebody,他后面就直接跟着a letter这个名词,所以他就是及物动词.
有些词既是及物又是不及物,不是绝对,要分辨是及物还是不及物,重要的是记住一些词后面跟的那些介词,如look at 要记住at 根在look的后面.等等.
至于你问的这句话,意思是说不要像那样对我说话,而不是“不要像那样说我”,me不是speak 要支配的对象,与及物后面跟的名词是两码事.这句话也可使这样说don't speak like that to me.这样,speak 虽是及物动词,但是他省略了后面跟的名词.注意speak something,与speak (something) to somebody的区别,也就懂得了整个及物与不及物的概念.