假设该双曲线是x^2-y^2=a^2,则可知双曲线的离心率e=√2.便于研究,我们可以设一点P(x0,y0)在双曲线的右支,且在第一象限.双曲线的对称中心就是O点嘛,双曲线左、右焦点分别为F1(-c,0)、F2(c,0),则向量PF1=(-c-x0,-y0),向量PF2=(c-x0,-y0),则向量PF1*向量PF2=x0^2+y0^2-c^2,由双曲线方程可得x0^2+y0^2-c^2=2x0^2-3a^2.焦半径PF1=ex0+a,焦半径PF2=ex0-a,点F1、O、F2三点共线,且O是线段F1F2的中点,于是就有向量PO=1/2*(向量PF1+向量PF2),做好这些准备工作后就可以开始解题了.
(线段PO)^2=(向量PO)^2=1/4*(向量PF1+向量PF2)^2=1/4[(向量PF1)^2+(向量PF2)^2+2(向量PF1)*(向量PF2)]=1/4[(ex0+a)^2+(ex0-a)^2+2x0^2-3a^2]=1/4(8x0^2-4a^2)=2x0^2-a^2=(√2x0+a)(√2x0-a)=(ex0+a)(ex0-a)=焦半径PF1*焦半径PF2,即得证.
此法属向量法,过程其实不难,主要用到向量的一个结论和双曲线的焦半径,以及和等轴双曲线的离心率是√2来解题,可能有些复杂,但思路十分清晰,应该能看得懂吧.
求证:等轴双曲线上任意一点到对称中心的距离,是他到两焦点距离的等比中项
求证:等轴双曲线上任意一点到对称中心的距离,是他到两焦点距离的等比中项
数学人气:808 ℃时间:2019-10-10 01:21:56
优质解答
我来回答
类似推荐
猜你喜欢
- 1有关刻苦好学的成语和格言
- 26. 【72632】 -- Hello,is that you Mary?This is Jane speaking. -- _____ A. That's all right.
- 3一袋大米,第一次用去5分之2,第二次用的比第一次少18千克,这时袋里还有大米38千
- 4《钢铁是怎样炼成的》一书中保尔身上具有的高贵品质是什么?
- 5妈妈的爱像一缕阳光,带给我春天般温暖.仿写
- 6以“阅读”为话题,仿写句子
- 7My robot in twenty years为题目写一边英语作文谢谢大家
- 8在0.1mol/L的NH4CL和0.1mol/L氨水溶液中,氨水的电离和NH4+的水解相互抑制?为什么.
- 9关于友谊友情的诗句名言
- 10草字头下面一个吕怎么读