已知中心在远点,焦点在x轴上的一个椭圆于圆x²+y²-4x-2y+2.5=0交与A、B两点,AB恰是该圆的直径

圆的方程：x²＋y²－4x－2y＋2.5＝0
(x－2)²＋(y－1)²＝2.5
圆心为(2,1),半径为√10/2
∵直线AB的斜率为－1/2
∴直线AB：y－1＝－1/2(x－2)
y＝－1/2x＋2
设A(xa,－1/2xa＋2),B(xb,－1/2xb＋2),则
AB的中点为圆心(2,1),即
xa＋xb＝4
又|AB|＝2r＝√10,即
|AB|²＝(xa－xb)²＋(－1/2xa＋2＋1/2xb－2)²＝10
|xa－xb|＝2√2
由于A和B是等价的,位置可以对调,不妨设xa＞xb,则有
xa＋xb＝4
xa－xb＝2√2
解得：xa＝2＋√2,xb＝2－√2
则A(2＋√2,1－√2/2),B(2－√2,1＋√2/2)
设椭圆方程为x²/a²＋y²/b²＝1,记m＝1/a²,n＝1/b²,则方程化为mx²＋ny²＝1
将A、B坐标代入方程,有
(2＋√2)²m＋(1－√2/2)²n＝1
(2－√2)²m＋(1＋√2/2)²n＝1
解得：m＝1/12,n＝1/3
答：椭圆方程为x²/12＋y²/3＝1.