如图，∠AOB=120°，AB的长为2π，⊙O1和AB、OA、OB相切于点C、D、E，求⊙O1的周长．

连接OC、O₁E、O₁D，则O₁在OC上，O₁E⊥OB，O₁D⊥OA，
设⊙O₁的半径为r，即O₁E=r．
∵∠AOB=120°，
∴∠COB=60°，OE=

1

2

OO₁=

1

2

（OC-O₁C）=

1

2

（OC-O₁E）．
又∵2π=

120π•OB

180

，
∴OB=3．∴OE=

1

2

（3-r）．
由OO₁²=O₁E²+OE²，
∴（3-r）²=r²+

1

4

（3-r）²，得：r=6

3

-9．
∴⊙O₁的周长=2πr=（12

3

-18）π．