f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,证明:存在ξ∈(0,1),使f(1)=3ξ^2f(ξ)+ξ^3f'(ξ).

用罗尔定理证：
作辅助函数：F(x)=x立方 f(x)-f(1)x
显然满足罗尔定理前2个条件
又
F(0)=0
F(1)=f(1)-f(1)=0=F(0)
所以
由罗尔定理,得
存在ξ∈（0,1）,使得
F'(ξ )=0
F'(X)=3x方f(x)+x^3 f'(x)-f(1)
得证.非常感谢老师的指导