斜三棱柱ABC-A′B′C′中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为 b，侧棱AA′与底面相邻两边AB、AC都成45°角，求此三棱柱的侧面积和体积．

（1）∵侧棱AA′与底面相邻两边AB、AC都成45°角，
∴三棱柱的三个侧面中，四边形ABBA和ACCA是有一个角是45°，相邻两边长分别为a，b的平行四边形，第三个侧面是边长分别为a，b的矩形．
∴s侧=2absib45°+ab=(

2

+1)ab
（2）过A₁作A1O垂直于底面ABC，交底面ABC于O点，作A₁D⊥AB，交AB于D点，连接DO，由题意，则
AD=

2 b

2

，A₁D=

2 b

2

，∴AO=

6 b

3

，A₁O=

3 b

3

∴V=

1

2

×

3 a

2

a

3 b

3

=

1

4

a2b