已知α+β=1,αβ=-1.设S1=α+β,S2=α2+β2,S3=α3+β3,…,Sn=αn+βn (1)计算:S1=_,S2=_,S3=_,S4=_; (2)试写出Sn-2、Sn-1、Sn三者之间的关系; (3)根据以上得出结论计算:α
已知α+β=1,αβ=-1.设S1=α+β,S2=α2+β2,S3=α3+β3,…,Sn=αn+βn
(1)计算:S1=______,S2=______,S3=______,S4=______;
(2)试写出Sn-2、Sn-1、Sn三者之间的关系;
(3)根据以上得出结论计算:α7+β7.
数学人气:514 ℃时间:2020-03-31 20:05:55
优质解答
(1)∵α+β=1,αβ=-1.
∴S
1=α+β=1.
S
2=α
2+β
2=(α+β)
2-2αβ=1+2=3.
S
3=α
3+β
3=(α+β)(α
2-αβ+β
2)=(α+β)
2-3αβ=1+3=4.
S
4=α
4+β
4=(α
2+β
2)
2-2α
2β
2=9-2=7.
故答案为:1,3,4,7;
(2)由(1)得:S
n=S
n-1+S
n-2.
证明:∵α,β是方程x
2-x-1=0的两根,
∴有:α
2=α+1,β
2=β+1,
S
n-1+S
n-2=α
n-1+β
n-1+α
n-2+β
n-2=
+
+
+
=
+
=α
n+β
n=S
n.
故S
n=S
n-1+S
n-2.
(3)由(2)有:
α
7+β
7=S
7=S
6+S
5=S
5+S
4+S
4+S
3=S
4+S
3+2S
4+S
3=3S
4+2S
3=3×7+2×4
=29.
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