设(G,*)是循环群,a∈G,如果a不是任何一个非平凡子群的元素,证明a是(G,*)的生成元

用反证法.若a不是G的生成元,设G的一个生成元为b,则a=b^k且b≠1（k可以＜0,但|k|≥2）
①若|G|=∞,则b是非平凡子群{1,a^k,a^2k,…,a^(-k),a^(-2k)…}的元素,与假设矛盾,因而此时b是G的生成元.
②若|G|<∞,设|b|=n,则因为b不为G的生成元,n<|G|,但此时b是非平凡子群H={1,b,b^2,…,b^(n-1)}的元素（因为|H|=n<|G|故而H是G的非平凡子群）矛盾.因而此时b也是G的生成元.不明白，能不能说明白点？额，我这已经写得很清楚了啊。。什么地方不明白，我再解释详细一点。。{1,a^k,a^2k,…,a^(-k),a^(-2k)…}为什么是非平凡子群，感觉那么怪的？“|G|<∞，设|b|=n，则因为b不为G的生成元，n<|G|”中为什么b不为G的生成元？一开始不是设G的一个生成元为b了吗H={1,b,b^2,…,b^(n-1)} 是G的子群吗？为什么会有元素 1 ？首先{1,a^k,a^2k,…,a^(-k),a^(-2k)…}是群，因为它满足乘法结合律且关于乘法封闭，而且1在里面，每个元素都有逆元。又因为{1,a^k,a^2k,…,a^(-k),a^(-2k)…}是G的一个子集，且{1,a^k,a^2k,…,a^(-k),a^(-2k)…}≠{1}或G，因而{1,a^k,a^2k,…,a^(-k),a^(-2k)…}是G的一个非平凡子群。啊不好意思我后面写错了，应该是a。当|G|<∞时我重写一遍。设|a|=n，则因为a不为G的生成元，n<|G|，但此时a是非平凡子群H={1,a,a^2,…,a^(n-1)}的元素（因为|H|=n<|G|故而H是G的非平凡子群）矛盾。因而此时a也是G的生成元。H={1,a,a^2,…,a^(n-1)}当然就是G的非平凡子群了。希望你能理解