已知二次函数f（x）=-3x2+2bx+c的图象经过原点，其对称轴方程为x=2． （1）求函数f（x）的解析式； （2）当m∈[-3，+∞）时，求函数g（x）=f（x）-6（m+2）x-9在x∈[2，3]上的最大值h（m）．

（1）二次函数f（x）=-3x²+2bx+c的图象经过原点，则c=0，
又∵二次函数的图象对称轴是直线x=2，

b

3

＝2，
∴二次函数解析式为：y=-3x²+12x．
（2）g（x）=f（x）-6（m+2）x-9=-3x²-6mx-9，x∈[2，3]．
配方得，g（x）=-3（x+m）²+3m²-9，
∵m∈[-3，+∞），∴-m∈（-∞，3]
①当-m＜2时，m＞-2时，h（m）=g（2）=-12m-21；
②当2≤-m≤3时，-3≤m≤-2时，h（m）=g（-m）=3m²-9．
综上，h（m）=

−12m−21，m＞−2 3m2−9，−3≤m≤−2

．