the first time they visit the Science MUseum,they showed great interest to everything they saw

英语中有一些表示时间的名词短语,可以用作连词,连接从句.你的例句就是一例,the first time 用来连接时间状语从句,表示“在他们第一次参观科学博物馆的时候,……”.如果前面加了介词 for 或 at,就成了介词短语,介词短语本身用作状语,就无法用作连词了.由于这样的短语可用作连词,所以一般都放在从句的句首,不会放在句尾.
在 zhangwen1890 的回答提供的几个例句中,可看出带介词 at,for,of 的介词短语,都是独立作状语的.只有“He was a school teacher the first time I saw him.（当我第一次见到他的时候,那时他是一名学校的老师.）”这个例子中,在不带介词时,用作连词,连接时间状语从句.他的译文很好地体现了这一点.