导数公式推导

根据导数的定义和极限运算法则：
1.[f(x)+g(x)]'
=lim(Δx→0)((f(x+Δx)-f(x)+g(x+Δx)-g(x))/Δx)
=(lim(Δx→0)(f(x+Δx)-f(x))/Δx)+(lim(Δx→0)(g(x+Δx)-g(x))/Δx)
=f'(x)+g'(x).
2.[af(x)]'
=lim(Δx→0)(af(x+Δx)-af(x))/Δx)
=a*lim(Δx→0)(f(x+Δx)-f(x))/Δx)
=af'(x).
3.[f(x)/g(x)]'
=lim(Δx→0)(f(x+Δx)/g(x+Δx)-f(x)/g(x))/Δx)
=lim(Δx→0)((g(x)*f(x+Δx)-f(x)*g(x+Δx))/(g(x+Δx)*g(x)))/Δx)
=lim(Δx→0)((g(x)*f(x+Δx)/Δx-f(x)*g(x+Δx)/Δx)/(g(x+Δx)*g(x)))
=lim(Δx→0)(g(x)*f(x+Δx)/Δx-f(x)*g(x+Δx)/Δx)/lim(Δx→0)(g(x+Δx)*g(x))
=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))².