在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△A

（1）如图，BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN．
此时

Q

L

=

2

3

．
（2）猜想：结论仍然成立．
证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE．
∵BD=CD，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°．
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠MBD=∠NCD=90°．
在△MBD与△ECD中：

BM=CE ∠MBD=∠ECD BD=DC

∴△MBD≌△ECD（SAS）．
∴DM=DE，∠BDM=∠CDE．
∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°．
在△MDN与△EDN中：

DM=DE ∠MDN=∠EDN DN=DN

，
∴△MDN≌△EDN（SAS）．
∴MN=NE=NC+BM．
△AMN的周长Q=AM+AN+MN
=AM+AN+（NC+BM）
=（AM+BM）+（AN+NC）
=AB+AC
=2AB．
而等边△ABC的周长L=3AB．
∴

Q

L

=

2AB

3AB

=

2

3

．
（3）如图，当M、N分别在AB、CA的延长线上时，若AN=x，
则Q=2x+

2

3

L（用x、L表示）．