如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示.
等差数列的通项公式为:an=a1+(n-1)d (1)
前n项和公式为:Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (2)
以上n均属于正整数.
从(1)式可以看出,an是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0.
在等差数列中,等差中项:一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项,且为数列的平均数.
且任意两项am,an的关系为:an=am+(n-m)d
它可以看作等差数列广义的通项公式.
从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}
若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aq,Sm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差数列,等等.
和=(首项+末项)×项数÷2
项数=(末项-首项)÷公差+1
首项=2和÷项数-末项
末项=2和÷项数-首项
末项=首项+(项数-1)×公差
等差数列的应用:
日常生活中,人们常常用到等差数列如:在给各种产品的尺寸划分级别
时,当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时,常按等差数列进行分级.
若为等差数列,且有an=m,am=n.则a(m+n)=0.
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