已知数列{an}的前n项和为Sn,且(a-1)Sn=a(an-1)(a>0)(n∈N*). (Ⅰ)求证数列{an}是等比数列,并求an; (Ⅱ)已知集合A={x|x2+a≤(a+1)x},问是否存在实数a,使得对于任意的n∈N*都有
已知数列{an}的前n项和为Sn,且(a-1)Sn=a(an-1)(a>0)(n∈N*).
(Ⅰ)求证数列{an}是等比数列,并求an;
(Ⅱ)已知集合A={x|x2+a≤(a+1)x},问是否存在实数a,使得对于任意的n∈N*都有Sn∈A?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.
数学人气:702 ℃时间:2020-06-18 12:44:40
优质解答
(Ⅰ)当n=1时,∵(a-1)S
1=a(a
1-1),∴a
1=a(a>0)(1分)
n≥2时,由(a-1)S
n=a(a
n-1)(a>0)
得(a-1)S
n-1=a(a
n-1-1)
∴(a-1)a
n=a(a
n-a
n-1),变形得:
=a(n≥2)(4分)
故{a
n}是以a
1=a为首项,公比为a的等比数列,∴a
n=a
n(6分)
(Ⅱ)(1)当a=1时,A={1},S
n=n,只有n=1时S
n∈A,
∴a=1不适合题意(7分)
(2)a>1时,A={x|1≤x≤a},S
2=a+a
2>a,∴S
2∉A,
即当a>1时,不存在满足条件的实数a(9分)
(3)当0<a<1时,A={x|a≤x≤1}
而S
n=a+a
2+…a
n=
(1−an)∈[a,)因此对任意的n∈N
*,要使S
n∈A,
只需0<a<1,
≤1解得0<a≤
(11分)
综上得实数a的范围是(0,
].(12分)
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