斜率为1的直线l与椭圆x2/4+y2/2=1交于两点A,B.O是坐标原点,当三角形AOB面积最大时
斜率为1的直线l与椭圆x2/4+y2/2=1交于两点A,B.O是坐标原点,当三角形AOB面积最大时
,求直线l的方程
,求直线l的方程
数学人气:718 ℃时间:2019-12-14 10:22:23
优质解答
正在做啊恩直线L的方程显然是y=x+b。联立:y=x+b、x^2/4+y^2/2=1,消去y,得:x^2/4+(x+b)^2/2=1,∴x^2+2(x^2+2bx+b^2)=4,∴3x^2+4bx+2b^2-4=0。∵点A、B都在直线L上,∴可令A、B的坐标分别是(m,m+b)、(n,n+b)。显然,m、n是方程3x^2+4bx+2b^2-4=0的两根,∴由韦达定理,有:m+n=-4b/3、mn=(2b^2-4)/3。改写直线L的方程,得:x-y+b=0,∴点O的AB的距离d=|b|/√2。又|AB|=√[(m-n)^2+(m+b-n-b)^2]=√2×√[(m+n)^2-4mn]=√2×√[16b^2/9-4(2b^2-4)/3]=(4/3)√(2b^2-3b^2+6)=(4/3)√(6-b^2)。∴△AOB的面积=(1/2)|AB|d=(1/2)(|b|/√2)(4/3)√(6-b^2)=(√2/3)√(6b^2-b^4)=(√2/3)√[9-(9-9b^2+b^4)]=(√2/3)√[9-(3-b^2)^2]。∴当b^2=3时,△AOB的面积有最大值,由b^2=3,得:b=√3,或b=-√3。∴满足条件的直线L的方程有两条,分别是:y=x=√3; y=x-√3。
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