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已知函数f(x)=(1/2x-1+1/2)sinx (-π2<x<π2且x≠0) (1)判断f(x)的奇偶性; (2)求证f(x)>0.
已知函数
f(x)=(
1
2
x
-1
+
1
2
)sinx (-
π
2
<x<
π
2
且x≠0)
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)求证f(x)>0.
数学
人气:286 ℃
时间:2020-06-03 07:33:01
优质解答
(1)∵
f(-x)=(
1
2
-x
-1
+
1
2
)sin(-x)=-(
1
1
2
x
-1
+
1
2
)sinx
=
-(
2
x
1-
2
x
+
1
2
)sinx=(
2
x
2
x
-1
-
1
2
)sinx
=
[(1+
1
2
x
-1
)-
1
2
]sinx
=
(
1
2
x
-1
+
1
2
)sinx=f(x)
,
∴f(x)是偶函数.
(2)当
0<x<
π
2
时,
2
x
>1,
2
x
-1>0 ,又sinx>0 , ∴f(x)>0
.
当
-
π
2
<x<0
时,
∵f(x)为偶函数,由上式知f(x)>0,故f(x)>0成立.
综上可得,f(x)>0.
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