A是n阶可逆矩阵,证明：对任意n维列向量x和y,下述等式成立：x^(t)A^(-1)y=det(A+yx^(t))/det(A) - 1

知道等式det(E+xy^T)=1+y^Tx吗?其中E是单位阵,y^T表示列向量y的转置.有了这个等式,则det(A+yx^T)=det(A(E+A^(-1)yx^T))=det(A)det(E+A^(-1)yx^T)=det(A)(1+x^TA^(-1)y)＝det(A)+x^TA^(-1)y det(A),化简就是要证不等式.我不知道你说的是什么矩阵论，不过可以自己证明一下啊。在y的正交补空间中取一个正交基v1 v2....，v(n-1)，则(E+xy^T)vi=vi，1<=i<=n-1（*）。分情况讨论：若x与y不正交，则由(*)式知E+xy^T有n－1个1作为特征值，另外(E+xy^T)x=x+xy^Tx=(1+y^Tx)x，因此1+y^Tx是一个特征值，对应特征向量是x。综上知E+xy^T的特征值是n－1个1，一个1+y^Tx，因此行列式为1+y^Tx。若x与y正交，则v1 v2，....，v(n-1) y是R^n的一个基，且(E+xy^T)y=y+y^Tyx，注意y^Tyx可由v1，v2，...，v(n-1)线性表出，因此可设y^Ty^x=k1v1+...+k(n-1)v(n-1)，并记P＝【v1 v2 ....v(n-1) y】，则(E+xy^T)P=【(E+xy^T)v1.... （E+xy^T)y】=【v1 v2....y】【e1 e2 .....e(n-1) p】，其中ei是单位阵的第i列，p－【k1 k2 ....k(n-1)1】^T，即(E+xy^T)P=P【e1 e2 .....e(n-1) p】因此E+xy^T与【e1 e2 .....e(n-1) p】相似，行列式相等，都是1，于是det(E+xy^T)=1+y^Tx。两种情况结论都成立。