讨论方程 x²=xsin x+cos x 的根的个数.
设f(x)=x²-xsinx-cosx=0
令f '(x)=2x-sinx-xcosx+sinx=2x-xcosx=x(2-cosx)=0
因为2-cosx≠0,故必有x=0,即f(x)只有唯一的一个驻点x=0;当x0;
因此x=0是f(x)的极小点,极小值f(x)=f(0)=-1;当x→±∞时f(x)→+∞.故原方程会有两个根.x=0时f(x)获得最小值-1;极值点(0,-1)在x轴的下面,且在y轴上;这个极值点是唯一的。当x→±∞时f(x)→+∞,即x沿x轴向x轴的两端移动时,y→+∞,那就是说函数的图像在y轴的左右两边穿过x轴伸向无穷大;图像与x轴的交点的横坐标就是方程的根,有两处穿过x轴,就是有两个根。从函数的奇偶性也可得出此结论。f(-x)=(-x)²-(-x)sin(-x)-cos(-x)=x²-sinx-cosx=f(x),因此f(x)时偶函数。
讨论方程 x^2=xsin x+cos x 的根的个数.
讨论方程 x^2=xsin x+cos x 的根的个数.
数学人气:558 ℃时间:2020-04-14 12:49:51
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