若定义在【-2001,2001】上的函数F(X)满足,对于任意X1,X2∈[-2010,2010]有 f(x1+x2)=f（x1)+f(x2)-2009,

令 g(x)=f(x)-2009,则由已知得：对任意x1,x2∈[-2010,2010],有 g(x1+x2)=g(x1)+g(x2),
且当 x>0时,g(x)>0.
取x1=x2=0,则可得 g(0)=0,
取 x1=x,x2=-x,则可得 g(-x)=-g(x),所以 g(x)是奇函数.
若 g(x) 最大值为m,则最小值为 -m.
因此,由f(x)=g(x)+2009 得 f(x) 最大值为m+2009,最小值为 -m+2009,
所以 其和=2009*2=4018.g(x1+x2)=g(x1)+g(x2)，这一步怎么得到？f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-2009，两边同时减 2009 ，则f(x1+x2)-2009=[f(x1)-2009]+[f(x2)-2009]，这不就是 g(x1+x2)=g(x1)+g(x2) 么？