数列{an}首项a1=1，前n项和Sn与an之间满足an＝2Sn22Sn−1(n≥2) （1）求证：数列{1/Sn}是等差数列（2）求数列{an}的通项公式．

数列{a_n}首项a₁=1，前n项和S_n与a_n之间满足an＝

2Sn2

2Sn−1

(n≥2)
（1）求证：数列{

}是等差数列
（2）求数列{a_n}的通项公式．

数学人气：513 ℃时间：2019-10-24 04:52:05

优质解答

（1）∵当n≥2时，an＝Sn−Sn−1＝

2Sn−1

，
整理得：S_n-1-S_n=2S_n⋅S_n-1，
由题意知S_n≠0，
∴

−

Sn−1

＝2，
即{

}是以

＝

＝1为首项，公差d=2的等差数列．
（2）∵{

}是以

＝

＝1为首项，公差d=2的等差数列．
∴

＝1+2(n−1)＝2n−1，
∴Sn＝

2n−1

，n∈N•．，
当n≥2时，an＝Sn−Sn−1＝

2n−1

−

2(n−1)−1

＝−

(2n−1)(2n−3)

，
当n=1时，a₁=S₁=1不满足a_n，
∴an＝

1，n＝1

−

(2n−1)(2n−3)

，n≥2

．

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