已知数列{an}的前n项和为Sn,满足a1=1,an+1=Sn+n+1,n∈N*,(I)求证:数列{an+1}是等比数列;(Ⅱ)求a1+2a2+3a3+…+nan.
已知数列{an}的前n项和为Sn,满足a1=1,an+1=Sn+n+1,n∈N*,
(I)求证:数列{an+1}是等比数列;
(Ⅱ)求a1+2a2+3a3+…+nan.
数学人气:325 ℃时间:2020-02-05 08:52:48
优质解答
(Ⅰ)已知数列{a
n}的前n项和为S
n,满足a
1=1,a
n+1=S
n+n+1,n∈N
*①,
则:a
n=S
n-1+n②
则:①-②得:a
n+1=2a
n+1
整理得:a
n+1+1=2(a
n+1)
所以:
=2(常数),
由于:a
1=1,所以a
1+1≠0
则:数列{a
n+1}是等比数列
(Ⅱ)由(Ⅰ)得到:
an+1=(a1+1)2n-1=2na
1+2a
2+3a
3+…+na
n=(a
1+1)+2(a
2+1)+…+n(a
n+1)-(1+2+…+n)
=
1•2+2•22+…+n•2n-设
Tn=1•2+2•22+…+n•2n①
则:2
Tn=1•22+2•23+…+n•2n+1②
所以:①-②得:
Tn=2n+1-2-n•2n+1=(n-1)•2
n+1+2
所以:a
1+2a
2+3a
3+…+na
n=(n-1)•2
n+1+2-
=
(n-1)2n+1-
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