已知二次函数f（x）的顶点坐标为（1，1），且f（0）=3， （1）求f（x）的解析式； （2）若f（x）在区间[a，a+1]上单调，求实数a的取值范围．

（1）∵二次函数f（x）的顶点坐标为（1，1），∴可设f（x）=a（x-1）²+1，（a≠0）．
又∵f（0）=3，∴3=a+1，解得a=2，
∴f（x）=2（x-1）²+1=2x²-4x+3．
（2）∵f（x）在区间[a，a+1]上单调，∴1≤a或a+1≤1，
解得a≤0或a≥1．