设函数f(x)=sinx−3cosx+x+1. (Ⅰ)求函数f(x)在x=0处的切线方程; (Ⅱ)记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,f′(B)=3且a+c=2,求边长b的最小值.
设函数
f(x)=sinx−cosx+x+1.
(Ⅰ)求函数f(x)在x=0处的切线方程;
(Ⅱ)记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,f′(B)=3且a+c=2,求边长b的最小值.
数学人气:686 ℃时间:2019-11-24 08:38:16
优质解答
(Ⅰ)当x=0时,f(0)=1-
,则切点为(0,1-
)
∵
f′(x)=cosx+sinx+1,∴f′(0)=2
∴函数f(x)在x=0处的切线方程为y-(1-
)=2(x-0),即y=2x+(1-
);
(Ⅱ)由(Ⅰ)f′(B)=2sin(B+
)+1=3,即sin(B+
)=1,∴
B=由余弦定理可得b
2=a
2+c
2-2accosB=a
2+c
2-ac=(a+c)
2-3ac=4-3ac≥4-3•
()2=4-3=1
当且仅当a=c=1时,取等号
∴b
2≥1,
∵b>0,∴b≥1,
∴b
min=1.
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