充分性:
∵A是n阶矩阵,且|A|≠0
∴秩r(A)=n,即满秩,∴增广矩阵r(A,b)=n
∵r(A)=r(A,b)=n
∴非齐次线性方程组Ax=b对任何b都有解.
必要性:
假设|A|=0,即r(A)<n,
若此时给出一个b无法用A的向量线性表示,即增广矩阵r(A,b)>r(A)
那么此时非齐次线性方程组Ax=b就无解,请看例子:
设A是:b是:
1 0 0 1
0 1 0 1
0 2 0 1
此时|A|=0,r(A)=2,r(A,b)=3,Ax=b无解
因此当|A|=0时,不能保证非齐次线性方程组Ax=b对任何b都有解,
∴假设|A|=0不成立,→|A|≠0
总结:对于非齐次线性方程组Ax=b(设A是n阶矩阵)
① r(A)=r(A,b)<n,方程组有无穷多解.
② r(A)<r(A,b)≤n,方程组无解.
③ r(A)=r(A,b)=n,方程组有且仅有唯一解.
设A是n阶矩阵,证明:非齐次线性方程组Ax=b对任何b都有解的充分必要条件是A的行列式不等于0
设A是n阶矩阵,证明:非齐次线性方程组Ax=b对任何b都有解的充分必要条件是A的行列式不等于0
数学人气:974 ℃时间:2020-06-21 11:36:01
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