对数定义?

对数的概念
英语名词：logarithms
如果a^b=n,那么log(a)(n)=b.其中,a叫做“底数”,n叫做“真数”,b叫做“以a为底的n的对数”.
log(a)(n)函数叫做对数函数.对数函数中x的定义域是x>0,零和负数没有对数；a的定义域是a>0且a≠1.
对数的历史
对数是中学初等数学中的重要内容,那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢?在数学史上,一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔（Napier,1550-1617年）男爵.在纳皮尔所处的年代,哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行,这导致天文学成为当时的热门学科.可是由于当时常量数学的局限性,天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”,因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.纳皮尔也是当时的一位天文爱好者,为了简化计算,他多年潜心研究大数字的计算技术,终于独立发明了对数.当然,纳皮尔所发明的对数,在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样.在纳皮尔那个时代,“指数”这个概念还尚未形成,因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样,通过指数来引出对数,而是通过研究直线运动得出对数概念的.那么,当时纳皮尔所发明的对数运算,是怎么一回事呢?在那个时代,计算多位数之间的乘积,还是十分复杂的运算,因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法.让我们来看看下面这个例子：
n 0、1、2、3、 4、 5、 6、 7 、 8 、 9 、 10 、 11 、 12 、 13 、 14 、……
2^n 1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、……
这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数,第二行表示2的对应幂.如果我们要计算第二行中两个数的乘积,可以通过第一行对应数字的加和来实现.比如,计算64×256的值,就可以先查询第一行的对应数字：64对应6,256对应8；然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14,对应第二行中的16384,所以有：64×256＝16384.纳皮尔的这种计算方法,实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了.回忆一下,我们在中学学习“运用对数简化计算”的时候,采用的不正是这种思路吗：计算两个复杂数的乘积,先查《常用对数表》,找到这两个复杂数的常用对数,再把这两个常用对数值相加,再通过《常用对数的反对数表》查出加和值的反对数值,就是原先那两个复杂数的乘积了.这种“化乘除为加减”,从而达到简化计算的思路,不正是对数运算的明显特征吗?经过多年的探索,纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》,向世人公布了他的这项发明,并且解释了这项发明的特点.所以,纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”,理应在数学史上享有这份殊荣.伟大的导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中,曾经把笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明.法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯（PierreSimonLaplace,1749-1827）曾说对数可以缩短计算时间,“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.
对数的性质及推导
定义：
若a^n=b(a>0且a≠1)
则n=log(a)(b)
基本性质：
1、a^(log(a)(b))=b
2、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
3、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);
4、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
推导
1、因为n=log(a)(b),代入则a^n=b,即a^(log(a)(b))=b.
2、MN=M×N
由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)]
由指数的性质
a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}
又因为指数函数是单调函数,所以
log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)
3、与（2）类似处理
MN=M÷N
由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]
由指数的性质
a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}
又因为指数函数是单调函数,所以
log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)
4、与（2）类似处理
M^n=M^n
由基本性质1(换掉M)
a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n
由指数的性质
a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}
又因为指数函数是单调函数,所以
log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
函数图象
1.对数函数的图象都过(1,0)点.
2.对于y=log(a)(n)函数,
①,当0