设x1=10,xn+1=6+xn(n=1,2,…),试证数列{xn}极限存在,并求此极限.
设x
1=10,
xn+1=(n=1,2,…),试证数列{x
n}极限存在,并求此极限.
数学人气:960 ℃时间:2019-08-22 13:04:31
优质解答
(1)先用数学归纳法证明数列{x
n}是单调递减的
∵
x1=10,x2==4∴x
2>x
1假设x
k-1>x
k,(k≥2且k为整数),则
xk==>=xk+1∴对一切正整数n,都有x
n>x
n+1∴数列{x
n}是单调递减的数列
(2)证明数列{x
n}是有界的
∵x
n≤x
1=10,n为正整数
且由
xn+1=知,x
n>0,
∴0<x
n≤10,n为正整数
即数列{x
n}是有界的
∴数列{x
n}极限存在
假设
xn=a则根据
xn+1=,得
a=∴解得:a=3(舍去a=-2)
∴
xn=3
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