如图1,P是线段AB上的一点,在AB的同侧作△APC和△BPD,使PC=PA,PD=PB,∠APC=∠BPD,连接CD,点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点,顺次连接E、F、G、H. (1)猜想四边形EFGH的形状,直接回

如图1,P是线段AB上的一点,在AB的同侧作△APC和△BPD,使PC=PA,PD=PB,∠APC=∠BPD,连接CD,点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点,顺次连接E、F、G、H.

(1)猜想四边形EFGH的形状,直接回答,不必说明理由;
(2)当点P在线段AB的上方时,如图2,在△APB的外部作△APC和△BPD,其他条件不变,(1)中的结论还成立吗?说明理由;
(3)如果(2)中,∠APC=∠BPD=90°,其他条件不变,先补全图3,再判断四边形EFGH的形状,并说明理由.
数学人气:301 ℃时间:2020-05-21 14:04:17
优质解答

(1)四边形EFGH是菱形.(2分)
(2)成立.(3分)
理由:连接AD,BC.(4分)
∵∠APC=∠BPD,
∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD.
即∠APD=∠CPB.
又∵PA=PC,PD=PB,
∴△APD≌△CPB(SAS)
∴AD=CB.(6分)
∵E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点,
∴EF、FG、GH、EH分别是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位线.
∴EF=
1
2
BC,FG=
1
2
AD,GH=
1
2
BC,EH=
1
2
AD.
∴EF=FG=GH=EH.
∴四边形EFGH是菱形.(7分)
(3)补全图形,如答图.(8分)
判断四边形EFGH是正方形.(9分)
理由:连接AD,BC.
∵(2)中已证△APD≌△CPB.
∴∠PAD=∠PCB.
∵∠APC=90°,
∴∠PAD+∠1=90°.
又∵∠1=∠2.
∴∠PCB+∠2=90°.
∴∠3=90°.(11分)
∵(2)中已证GH,EH分别是△BCD,△ACD的中位线,
∴GH∥BC,EH∥AD.
∴∠EHG=90°.
又∵(2)中已证四边形EFGH是菱形,
∴菱形EFGH是正方形.(12分)
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