如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AA1⊥底面ABCD，AB=2，AA1=BC=4，∠ABC=60°，点E为BC中点，点F为B1C1中点． （1）求证：平面A1ED⊥平面A1AEF； （2）设二面角A1-E

（1）证明：∵AB=2，BC=4，∠ABC=60°，点E为BC中点，
∴△ABC为等边三角形，∠AEB=60°，
△CDE中，∠CED=30°，∴AE⊥ED，
∵AA₁⊥底面ABCD，∴AA₁⊥ED，
又由AE∩AA₁=A，∴ED⊥平面AA₁EF，
又∵ED⊂平面A₁ED，
∴平面A₁ED⊥平面A₁AEF．
（2）∵ED⊥平面A₁AEF，∴A₁E⊥ED，AE⊥ED，
∴∠A₁ED为二面角A₁-ED-A的平面角，∴∠A₁EA=α，
∴sinα=

AA1

A1E

＝

2 5

5

，cosα=

5

5

，
过A作A₁E的垂线，垂足为H，连结HD，
∵ED⊥平面A₁AEF，∴ED⊥AH，
∴AH⊥平面A₁ED，
∴∠ADH为直线AD与平面A₁ED所成的角β，即∠ADH=β，
∴AH=

4 5

5

，sinβ=

5

5

=cosα，
∴α+β=90°，
∴sin（α+β）=1．